Cực trị của hàm số

Friday, August 10, 2012

Dạng toán 1: Điều kiện để hàm số (đồ thị hàm số) y = f(x, m) có cực trị

Phương pháp giải:

Để xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số (đồ thị hàm số) y=f(x,m)

có n cực trị ta tiến hành như sau :

Tìm tập xác định D của hàm số

Tính đạo hàm

Xác định điều kiện để đồi dấu n lần trên tập

Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa nó (cũng là thỏa bài toán)

Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất việc giải toán

Chú ý́

Các hàm số: y=ax^3+bx^2+cx+d

$(a\ne0)$ , $y=\frac{ax^2+bx+c}{a'x+b'}$

Hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị (gồm một cực đại và một cực tiểu)

Điều kiện để có cực trị của hàm số đó là: PT y'=0

có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Cho hàm số $y= \frac{x^2+2m^{2}x+m^2}{x+1}$ với giá trị nào của

thì hàm số có cực trị.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định : $D=R\backslash \left\{{-1} \right\}$
Đạo hàm: $y'=\frac{x^2+2x+m^2}{\left({x+1} \right)^2}$
Đặt $\phi (x)=x^2+2x+m^2$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow$ $\phi (x)=0$ có hai nghiêm phân biệt

thỏa $\left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ \phi(-1) \ne 0 \end{array}\right.$

Đáp án:

Bài tập rèn luyện:

Bài 1. Xét hàm số: y=x^3-(m-1)x^2+(2m-1)x+9m-5

. Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm số có hai cực trị

Bài 2. Xét hàm số: y=mx^3+(m-1)x^2+(2m-3)x+m-7

. Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm só có cực trị

Bài 3. Xét hàm số: y=(m - 1)x^3-(2m - 1)x^2+(m-3)x+11m-1

. Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm số không có cực trị

Bài 4. Xét hàm số: $y=\frac{x^2-(m-2)x+3m+1}{x-2}$ . Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm số có cực trị

Bài 5. Xét hàm số: $y=\frac{mx^2-(m+1)x+2m-6}{x+1}$ . Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàmCo số không có cực trị

Trích: http://kenhdaihoc.com/forum/forums/552-Toan-hoc.kdh

Dạng toán 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

Điều kiện để hàm số có cực trị tại

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right) \ne 0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm số có cực đại tại

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)<0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)>0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)

có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ a \ne 0 \end{array}\right.$

Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị :

có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Tìm

để hàm số

đạt cực tiểu tại x=2

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D=R

Đạo hàm

Điều kiện đủ để hàm số đạt cức tiểu tại x=2

là:

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({2}\right)=0 \\ y''\left({2}\right)>0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} 3(4-4m+m^2-1)=0 \\ 6(2-m)<0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} m^{2}-4m+3=0 \\ 2-m<0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l} m=1 \\ m=3 \end{array} \right.$ và m>2

$\Leftrightarrow m=3$

Kết luận:

Bài tập rèn luyện:

1. Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1$ . Tìm giá trị của tham số

để hàm số đạt cực đại tại điểm x=1

2.Cho hàm số y=mx^4+(m^2-9)x^2+10

. Tìm

để hàm số có 3 cực trị.

3. Định

để

đạt cực đại tại x=1

4. Cho hàm số $\frac{x^4}{2}-ax^2+b$ . Định a,b

để hàm số đạt cực trị bằng

tại

5. Cho hàm số y=x^3+(m-1)x^2-(m+3)x-1

. CMR đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu . Viết hương trình đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của hàm số

About "Administrator"

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Vivamus suscipit, augue quis mattis gravida, est dolor elementum felis, sed vehicula metus quam a mi. Praesent dolor felis, consectetur nec convallis vitae.

Thủ thuật Online

block1

Friday, August 10, 2012